Definición formal de función

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o  2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B>  | </B>  <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  | <A HREF="id292.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones"><U>Funciones</U></A>  |</div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> <bR> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B>Definición de función de variable real</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div>  <A NAME="definición_de_función"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Defin<FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >ición de función</FONT></div> <div> <B> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="896" BORDERCOLORLIGHT="#993366" BORDERCOLORDARK="#993366" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 66 WIDTH="886"><div> <B>Definición de funció</B><B>n real:</B></div> <div> Dados dos conjuntos de números reales, <I>A </I>y <I>B</I>, una función real de números reales es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento <I>x</I> del conjunto <I>A</I> uno y sólo un elemento <I>y</I> del conjunto <I>B</I>.</div> </tD> </tR> </TABLE></B></div> <bR> <div> <IMG SRC="2a9a14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  El conjunto <I>A</I> se conoce como el <I><B>dominio</B></I> de la función y el conjunto <I>B</I> como el <I><B>rango</B></I><I> </I>o<I> recorrido</I>.</div> <div> <IMG SRC="2a9c14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Usualmente las funciones se denotan por letras como <I>f</I>, <I>g</I>, <I>h</I>, <I>F</I>, <I>G</I>, <I>H</I>, etc. </div> <div> <IMG SRC="2a9d14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Los símbolos <I>x</I> y <I>y </I>representan a cualquier elemento de los conjuntos <I>A</I> o <I>B</I> respectivamente. Esto es, <I>x</I> y <I>y</I>  son variables.</div> <div> <IMG SRC="2a9e14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  La regla de asignación puede estar expresada mediante una fórmula matemática que transforma los valores <I>x</I> en su correspondiente valor de <I>y</I>. Los valores de <I>x</I> se dan arbitrariamente y los de <I>y</I> se obtienen a partir del valor particular dado a <I>x </I>y de la fórmula. Se denomina entonces a <I>x</I> como la <I><B>variable independiente</B></I> y a <I>y</I> como la <I><B>variable dependiente</B></I>.</div> <div> <IMG SRC="2aa214140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Si <I>f</I> es una función en los que los elementos de su dominio se representan por <I>x</I> y los de su rango por <I>y</I>, la notación <I>f </I>(<I>x</I>), que se lee "<I>f</I> de <I>x</I>", se usa para designar el valor particular de <I>y</I> (imagen) que corresponde al valor de <I>x</I>.</div> <div> <IMG SRC="2a9f14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Se considera que una función está bien definida cuando se da la fórmula y el dominio.</div> <div> <IMG SRC="2aa114140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Una función puede darse de forma <I><B>explícita</B></I> o de forma <I><B>implícita</B></I>. En la forma explícita la variable dependiente <I>y</I> está despejada en términos de la variable independiente <I>x</I>.</div> <div>  <A NAME="definicón_formal_de_función"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Definicón formal de función</div> <div> <B>Definición forma</B><B>l </B><B>de función.</B></div> <div> Para evitar ciertas ambiguedades en los significados de los términos, los matemáticos han definido una función basados en el concepto de conjuntos como sigue: </div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="896" BORDERCOLORLIGHT="#993366" BORDERCOLORDARK="#993366" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 131 WIDTH="886"><div> <B>Definición formal de función real:</B></div> <div> "Una función real es un conjunto de pares ordenados de números reales (<I>x</I>, <I>y</I>) en donde nunca se repite el primer elemento".</div> <div> El conjunto de  todos los números <I>x</I> que aparecen como el primer elemento de los pares ordenados (<I>x</I>, <I>y</I>) es el <I><B>dominio</B></I> de la función y el conjunto de los segundos elementos <I>y</I> se denomina <I><B>rango</B></I> o recorrido de la función.</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="2aa314140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Recordemos que en la definición el término "par ordenado" significa que el orden es importante; por ejemplo, el par (1 , 2) es distinto del par (2, 1).</div> <bR> <div> <IMG SRC="2aa514140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Como para toda <I>x</I> en el dominio de la función <I>f</I> existe un solo valor correspondiente de <I>y</I> tal que el par ordenado (<I>x</I>, <I>y</I>) pertenece a <I>f</I>, es adecuado utilizar el símbolo <I>y</I> = <I>f </I>(<I>x</I>) que muestra la relación que existe entre la variable independiente y la dependiente en la obtención de los pares ordenados de la función. Se tiene entonces la siguiente notación para la función <I>f </I>:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2aa6b1230.gif" border=0 width="177" height="35" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="teorema"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Teorema</div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="896" BORDERCOLORLIGHT="#993366" BORDERCOLORDARK="#993366" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 66 WIDTH="886"><div> <B>Teorema.</B></div> <div> "Dos funciones <I>f</I> y <I>g</I> son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio y <I>f</I> (<I>x</I>) = <I>g</I>(<I>x</I>) para toda <I>x</I> que pertenece al dominio común".</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div>  <A NAME="gráfica"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Gráfica</div> <div> <B>Representación gráfica de una función.</B></div> <div> Una función se puede representar geométricamente trazando su gráfica en el plano cartesiano.<FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >ión gráfica</FONT></div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="896" BORDERCOLORLIGHT="#993366" BORDERCOLORDARK="#993366" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 71 WIDTH="886"><div> <B>Definición de gráfica de una función:</B></div> <div> La gráfica de una función <I>f</I> es el conjunto de todos los puntos (<I>x</I>, <I>y</I>) del plano <IMG SRC="2ab419170.gif" border=0 width="25" height="23" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> para los cuales (<I>x</I>, <I>y</I>) es un par ordenado de <I>f</I>.</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="2ab614140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Una recta vertical corta a la gráfica de una función a lo sumo en un solo punto.</div> <div> <IMG SRC="2ab714140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  La técnica para graficar funciones depende en gran medida del tipo de función dada.</div> <div> <IMG SRC="2ab814140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  Es conveniente dar una <I><B>tabla de valores resumen</B></I> donde estén incluidos los valores más significativos dados a <I>x</I> y los correspondientes calculados para <I>y</I>. En esta tabla se deben mostrar, por ejemplo, los cortes con el eje<I>x</I>, los cortes con el eje<I>y</I>, <I>los máximos y mínimos locales</I>, los <I>puntos de inflexión</I>, puntos en los cuadrantes por los que pasa la función, etc.</div> <div>  <A NAME="tipos_de_funciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Tipos de funciones</div> <div> <B>Tipos de fun</B><B>cio</B><B>nes.</B></div> <div> Existen diversos tipos de funciones cuya clasificación se realiza observando la fórmula de las mismas. Las funciones elementales abarcan a las <I>funciones algebraicas</I> y las <I>funciones tracendentes</I> (que no son algebraicas): funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones hipérbolicas y funciones hiperbólicas inversas se denominan funciones trascendentes. </div> <div> El análisis de la mayor parte de las funciones requiere la aplicación del concepto de límite y de derivada, por ejemplo, para hallar las <I>asíntotas horizontales</I> y <I>verticales</I> se requiere de límites, para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo, calcular los <I>máximos y mínimos locales</I>, o localizar los <I>puntos de inflexión</I> se utiliza el <I>cálculo diferencial</I>. </div> <div> Primero vamos a definir aquellas funciones en las que podamos aplicar los conocimientos de precálculo adquiridos hasta este punto. En el transcurso de estas lecciones, cuando ya dispongamos de los conocimientos teóricos de cálculo necesarios, se van a estudiar exhaustivamente las funciones más importantes utilizadas en cálculo.</div> <div> <IMG SRC="2aa814140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función constante</B></I></FONT>. Una función para la cual <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><I>f</I>(<I>x</I>) = <I>k</I></FONT><I> </I>para todo valor de <I>x</I> en un intervalo se denomina <I>función constante </I>y su gráfica es una recta horizontal que corta al eje<I>y </I>en<I> k. </I>En particular, el eje<I>x</I> está dado por <I>f</I>(<I>x</I>) = <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >0</FONT><I>.</I></div> <div> Ejemplo 1:</div> <div> <IMG SRC="2ac2011c0.gif" border=0 width="257" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ac37fe40.gif" border=0 width="383" height="228" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ac56c1c0.gif" border=0 width="108" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2aa914140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función identidad</B></I></FONT>. En la función identidad a cada <I>x</I> le corresponde un número <I>y</I> con el mismo valor dado para la <I>x</I>. Esto es <I>y</I> = <I>f</I> (<I>x</I>) = <I>x </I>; <I>domf</I> = <I>R</I>.</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2aca09f10.gif" border=0 width="265" height="241" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2acc971c0.gif" border=0 width="151" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><IMG SRC="2aaa14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </FONT><I><B>Función lineal </B></I><I><B> o de primer grado</B></I><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >. La función lineal está dada por </FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2acd70180.gif" border=0 width="112" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> El dominio y el rango de la función lineal son el conjunto de todos los números reales. La gráfica es una línea recta con pendiente <I>m</I> , corte con el eje<I>y</I> igual a <I>b</I> y corte con el eje<I>x</I> igual a <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT><I>b</I>/<I>m</I>.</div> <div> Ejemplo 2:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2aced0180.gif" border=0 width="208" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2acf1c610.gif" border=0 width="284" height="97" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ad0b7040.gif" border=0 width="183" height="260" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ad263180.gif" border=0 width="99" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><IMG SRC="2aab14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </FONT><I><B>Función cuadrá</B></I><I><B>ti</B></I><I><B>ca o de segundo grado</B></I><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >. La forma general de una función cuadrática es</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2abf981c0.gif" border=0 width="152" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ac041180.gif" border=0 width="577" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> El dominio de la esta función (cuyo miembro derecho es un polinomio de grado 2) son todos los reales.</div> <div> La gráfica de una función cuadrática es una <I>parábola</I>.</div> <div> Si <I>a</I><FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><I> </I></FONT>><FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > </FONT>0, la parábola abre hacia arriba; si <I>a</I><FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><I> </I></FONT><<FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > </FONT>0, la parábola abre hacia abajo.</div> <div> <I>c</I> es el corte con el eje <I>y</I>. </div> <div> La abscisa del vértice se obtiene mediante la fórmula <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT><I>b</I>/2<I>a. </I>La ordenada del vértice se halla calculando el valor de la función para esta abscisa.</div> <div> Ejemplo 3:</div> <div> <IMG SRC="2ac81b1d0.gif" border=0 width="283" height="29" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ac9e0ff0.gif" border=0 width="736" height="255" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="473" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=6 BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 23 WIDTH="441"><div> <I>Tabla de valores</I></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 24 WIDTH="71"><div> <I>x</I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 1</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 3</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 6</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 24 WIDTH="71"><div> <I>f (x)</I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> -<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >4</FONT></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ac627760.gif" border=0 width="295" height="374" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ac7911c0.gif" border=0 width="145" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <IMG SRC="2ae014140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función polinomial</B></I></FONT>. Una función se denomina polinomial de grado <I>n</I> si está definida por un polinomio de grado <I>n</I>:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ae2b41c0.gif" border=0 width="436" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ae1701c0.gif" border=0 width="624" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Las funciones anteriores son polinomiales. Esto es, la función constante es una polinomial de grado <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >0</FONT>, las funciones identidad y lineal son polinomiales de grado 1, la función cuadrática es una polinomial de grado 2. </div> <div> Las funciones de grado mayor que 2 como por ejemplo, las cúbicas (grado 3), las cuárticas (grado 4) se tratan más adelante una vez sepamos <I>derivar funciones</I>.</div> <div> <IMG SRC="2ae314140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función potencia</B></I></FONT>. Una función potencia es una polinomial que consta solo de un término; es decir, está dada por:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ae4571c0.gif" border=0 width="87" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ae514140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función racional</B></I></FONT>. La regla de una función racional está expresada por el cociente de dos polinomios:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ae7b7340.gif" border=0 width="183" height="52" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ae614140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función radical</B></I></FONT>. Una función radical es aquella cuya regla es una raíz enésima, como por ejemplo:</div> <div> Ejemplo 4:</div> <div> <IMG SRC="2ae8513c0.gif" border=0 width="337" height="60" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <IMG SRC="2aad14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función definida por partes (o a trozos) o función mixta</B></I></FONT>. Al definir una función se puede dar una expresión distinta para cada intervalo de <I>x</I>.</div> <div> Ejemplo 5:</div> <div> <IMG SRC="2abeab590.gif" border=0 width="427" height="89" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ac1fdfb0.gif" border=0 width="765" height="251" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="629" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=8 BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 23 WIDTH="589"><div> <I>Tabla de valores</I></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 24 WIDTH="71"><div> <I>x</I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> -<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >2</FONT></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 1</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 3/2</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 4</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 10</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 24 WIDTH="71"><div> <I>f (x)</I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 1</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> -<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >1</FONT></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 5</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 4</div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="71"><div> 4</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2abb03380.gif" border=0 width="515" height="312" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2abd8f1c0.gif" border=0 width="143" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ad314140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función valor absoluto</B></I></FONT>. La función <I>f</I> que asigna a cada número real <I>x</I> el número no negativo |<I>x</I>| se denomina función valor absoluto. Se tiene que:</div> <div> <IMG SRC="2ad4ed390.gif" border=0 width="493" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ad6ab0c0.gif" border=0 width="427" height="268" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2aae14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B>Función signo</B></I></FONT>. La función signo se define mediante:</div> <div> <IMG SRC="2ad793540.gif" border=0 width="403" height="84" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ad8ddb60.gif" border=0 width="477" height="182" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2ad9a11c0.gif" border=0 width="161" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2aaf14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><I><B> Función mayor entero</B></I></FONT>. La notación y definición de la función <I>mayor entero contenido en un intervalo</I> es la siguiente:</div> <div> <IMG SRC="2adb8f1c0.gif" border=0 width="399" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2ade6a3b0.gif" border=0 width="362" height="315" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2add61180.gif" border=0 width="97" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><IMG SRC="2b2914140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </FONT><I><B> </B></I><A HREF="id540.htm" TARGET="_top" TITLE="Ejercicios sobre funciones"><U><I><B>Ver los ejercicios resueltos</B></I></U></A></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><IMG SRC="2b2a14140.gif" border=0 width="20" height="20" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </FONT><I><B> </B></I><A HREF="id541.htm" TARGET="_top" TITLE="Problemas de modelación mediante funcion"><U><I><B>Ver los problemas de modelación resueltos</B></I></U></A></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:336px;height:280px" data-ad-client="ca-pub-6266400581769473" data-ad-slot="1163033713"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> </td> <td valign="top" width=105 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <A HREF="https://www.youtube.com/user/MatematicaAplicadas" TARGET="_top" TITLE="https://www.youtube.com/user/MatematicaA"><U><B><IMG SRC="2c0564580.gif" border=0 width="100" height="600" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></U></A></div> <div> <B><IMG SRC="294771950.gif" border=0 width="113" height="149" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="183" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#339933" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 40 WIDTH="171"><div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Definición de función real</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 40 WIDTH="171"><div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Definición formal de función</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 21 WIDTH="171"><div> <A HREF="id539_m.htm#teorema" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Definición formal de función"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Teorema</B></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 40 WIDTH="171"><div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Gráfica de una función</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 21 ><NOBR><div> <A HREF="id539_m.htm#tipos_de_funciones" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Definición formal de función"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Tipos de funciones</B></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 21 WIDTH="171"><div> <A HREF="id540.htm" TARGET="_top" TITLE="Ejercicios sobre funciones"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ejercicios</B></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 40 WIDTH="171"><div> <A HREF="id541.htm" TARGET="_top" TITLE="Problemas de modelación mediante funcion"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000660000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Problemas de modelación</B></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></B></div> <bR> <div> <A HREF="http://twitter.com/Calculo21" TARGET="_top" TITLE="http://twitter.com/Calculo21"><U><B><IMG SRC="248328280.jpg" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></U></A><A HREF="http://www.facebook.com/juan.beltran.58511" TARGET="_top" TITLE="http://www.facebook.com/juan.beltran.585"><U><B><IMG SRC="248428280.gif" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></U></A><A HREF="http://www.youtube.com/user/MatematicaAplicadas" TARGET="_top" TITLE="http://www.youtube.com/user/MatematicaAp"><U><B><IMG SRC="248528280.jpg" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></U></A><B> <a href="HTMLobj-11246/Aviso_Baldor.docx"><img align="bottom" border="0" width="40" height="40" src="HTMLobj-11246/gato_1.jpg"></a>  </B></div> <div> <B> <a href="http://twitter.com/Calculo21" class="twitter-follow-button" data-button="grey" data-text-color="#FFFFFF" data-link-color="#00AEFF" data-show-count="false" data-lang="es">Follow @Calculo21</a> <script src="http://platform.twitter.com/widgets.js" type="text/javascript"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>