Definición de límite

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" ><B>   </B></FONT><B>  |   </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id293.htm" TARGET="_top" TITLE="Límites y continuidad"><U>Límites y continuidad</U></A>  |</div> <bR> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=432 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> Definición de límite</div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div>   <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>l concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el <I>límite</I> es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. </div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <A NAME="definici_n_de_l_mite"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Definición de límite</B></FONT></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >     </FONT>Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente <I>tiende</I> (se aproxima) a un valor determinado.</div> <div> <B>Ejemplo:</B></div> <div> <IMG SRC="23a411180.gif" border=0 width="273" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </div> <div> En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente <I>x</I>, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  <I>f</I> (<I>x</I>):</div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="0" WIDTH="589" BORDERCOLORLIGHT="#99FFFF" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="LHS" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFF80 HEIGHT= 20 WIDTH="73"><div> <I>x</I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFF99 WIDTH="106"><div> <I>f </I>(<I>x</I>)</div> </tD> <tD VALIGN=TOP ROWSPAN=2 BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="398"><div> Cuando <I>x</I> se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  <I>f</I> (<I>x</I>) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está <I>x</I> de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre <I>x</I> y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  <I>f</I> (<I>x</I>) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFBF0 HEIGHT= 170 WIDTH="73"><div> 1.9</div> <div> 1.99</div> <div> 1.999</div> <div> 1.9999</div> <div> 2.0001</div> <div> 2.001</div> <div> 2.01</div> <div> 2.1</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFBF0 WIDTH="106"><div> 2.61</div> <div> 2.9601</div> <div> 2.996001</div> <div> 2.99960001</div> <div> 3.00040001</div> <div> 3.004001</div> <div> 3.0401</div> <div> 3.41</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="524" BORDERCOLORLIGHT="#33FFCC" BORDERCOLORDARK="#AAAAAA" FRAME="RHS" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP ROWSPAN=2 HEIGHT= 20 WIDTH="98"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="20" ALIGN="bottom" WIDTH="98" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#99FFCC WIDTH="197"><div> |<I>x</I> <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT> 2|</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#99FFCC WIDTH="213"><div> | <I>f</I> (<I>x</I>) <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT> 3|</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#CCFFFF WIDTH="197"><div> |1.9-2| = 0.1</div> <div> |1.99-2| = 0.01</div> <div> |1.999-2| = 0.001</div> <div> |1.9999-2| = 0.0001</div> <div> |2.0001-2| = 0.0001</div> <div> |2.001-2| = 0.001</div> <div> |2.01-2| = 0.01</div> <div> |2.1-2| = 0.1</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#CCFFFF><NOBR><div> |2.61-3| = 0.39</div> <div> |2.9601-3| = 0.0399</div> <div> |2.996001-3| = 0.003999</div> <div> |2.99960001-3| = 0.00039999</div> <div> |3.00040001-3| = 0.00040001</div> <div> |3.004001-3| = 0.004001</div> <div> |3.0401-3| = 0.0401</div> <div> |3.41-3| = 0.41</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  <I>f</I> (<I>x</I>) cuando <I>x</I> tiende a 2, es 3.</div> <div> Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:</div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="589" BORDERCOLORLIGHT="#33FFCC" BORDERCOLORDARK="#003399" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 225 WIDTH="581"><div> <B> <A NAME="definici_n_epsil_n_delta"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Definición épsilon-delta</B></div> <bR> <div>      Sea  <I>f</I> una función definida en algún intervalo abierto que contenga a <I>a</I>. El límite de <I>f </I>(<I>x</I>) cuando <I>x</I> tiende a <I>a</I> es <I>L</I>, y se escribe     <IMG SRC="23a52b6d0.gif" border=0 width="555" height="109" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <U>Nota</U>: no es necesario que <I>f</I> este definida en <I>a</I> para que el límite exista. </div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="567" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#00CCCC HEIGHT= 58 WIDTH="555"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)</B></FONT></div> <div>        En los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >4</FONT>, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición<A HREF="id293_definici_n_epsil_n_delta.htm" TARGET="_top" TITLE="Límites y continuidad"><U> Epsilón-delta</U></A>:</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 36 WIDTH="183"><div> <IMG SRC="23a7701d0.gif" border=0 width="112" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="183"><div> <IMG SRC="23a8771d0.gif" border=0 width="119" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="23a97d1d0.gif" border=0 width="125" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 48 ><NOBR><div> <IMG SRC="23aa7d290.gif" border=0 width="125" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 WIDTH="369"><div> <B>Leithold</B></div> <div> <A HREF="id496.htm" TARGET="_top" TITLE="2.1"><U><B>Ejercicios 2.1</B></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>S o l u c i o n e s</B></div> <div>  <A NAME="1__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>1. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="23ab37900.gif" border=0 width="567" height="400" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="2__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>2.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="23ac44910.gif" border=0 width="580" height="401" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="3__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>3. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="23ad37940.gif" border=0 width="567" height="404" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="4__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>4.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="23ae1fa80.gif" border=0 width="543" height="424" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:4577786115" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>