Método de Newton

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B>  </B>|   <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id307.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo diferencial"><U>Cálculo diferencial</U></A>  |</div> <bR> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c800660000.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0"> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=432 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> Método de Newton</div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div> <B> <A NAME="mçetodo_de_newton"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>E</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >l método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos. Aunque existen fórmulas para hallar las raíces de ecuaciones de tercer y cuarto grado, dichas formulas son muy complicadas y nada prácticas. Un teorema, atribuido a Abel, establece que no es posible encontrar una fórmula general, en términos de los coeficientes de la ecuación, que permita hallar los ceros exactos de una función polinomial de grado cinco o mayor. Esto significa que, en general, sólo se pueden hallar aproximaciones para los ceros de funciones de grado mayor que cuatro aplicando métodos numéricos.</FONT></div> <bR> <div>  <A NAME="descripci_n_del_m_todo_de_newton"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Descripción del Método de Newton:</B></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="634" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 271 ><NOBR><div> <IMG SRC="200263080.gif" border=0 width="355" height="264" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="20030cf80.gif" border=0 width="268" height="248" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="200484ed0.gif" border=0 width="644" height="493" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="508" BORDERCOLORLIGHT="#99FFCC" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 223 ><NOBR><div>  <A NAME="p_r_o_c_e_d_i_m_i_e_n_t_o"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#FF9900" FACE="Times New Roman" ><B>P r o c e d i m i e n t o</B></FONT> </div> <bR> <div> <IMG SRC="2005e3b50.gif" border=0 width="483" height="181" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 134 WIDTH="600"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#FF0033" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1 </FONT>y<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" > 2</FONT>,<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" > </FONT>utilice el método de Newton para calcular la raíz real de la ecuación que se indica (con cuatro cifras decimales). En los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >3</FONT> y <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >4</FONT>, use el método de Newton para determinar, redondeando a milésimos, el valor aproximado de la raíz que se indica. En los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >5</FONT> y <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >6</FONT>, determine el valor del radical que se da con cinco cifras decimales. En el ejercicio <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >7</FONT>, utilice el método de Newton para calcular, con cuatro cifras decimales, la coordenada <I>x </I>del punto de intersección en el primer cuadrante de las gráficas de las dos ecuaciones.</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 58 WIDTH="198"><div> <A HREF="#1" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200681150.gif" border=0 width="129" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#2" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="20076f150.gif" border=0 width="111" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2><NOBR><div> <A HREF="#3" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200814180.gif" border=0 width="276" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#4" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200935180.gif" border=0 width="309" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 58 ><NOBR><div> <A HREF="#5" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200a0b180.gif" border=0 width="267" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#6" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200b0c180.gif" border=0 width="268" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#7" TITLE="Método de Newton"><U><IMG SRC="200c81150.gif" border=0 width="129" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <B>S o l u  c i o n e s</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > </FONT></div> <bR> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="200d81150.gif" border=0 width="129" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="620" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 292 ><NOBR><div> <IMG SRC="200e301d0.gif" border=0 width="304" height="285" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="200fff170.gif" border=0 width="255" height="279" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="201075a50.gif" border=0 width="629" height="677" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="20116f150.gif" border=0 width="111" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 292 ><NOBR><div> <IMG SRC="2012e7f60.gif" border=0 width="231" height="246" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="2013301d0.gif" border=0 width="304" height="285" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="201463300.gif" border=0 width="611" height="816" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="201514180.gif" border=0 width="276" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="602" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 321 WIDTH="366"><div> <U>Solución</U>:</div> <div> Como se puede observar en la gráfica, la raíz positiva menor está entre 0 y 1.</div> <div> <IMG SRC="201630040.gif" border=0 width="304" height="260" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="2017d0fa0.gif" border=0 width="208" height="250" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="201829180.gif" border=0 width="553" height="536" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="201935180.gif" border=0 width="309" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="626" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 326 WIDTH="306"><div> <U>Solución</U>:</div> <div> Como se puede observar en la gráfica, la raíz negativa está entre -2 y -1</div> <div> <IMG SRC="201a30040.gif" border=0 width="304" height="260" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="201b2cf50.gif" border=0 width="300" height="245" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="201c78a50.gif" border=0 width="632" height="677" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="201d0b180.gif" border=0 width="267" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="587" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 266 ><NOBR><div> <IMG SRC="201fe5e80.gif" border=0 width="229" height="232" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="309"><div> <U>Solución</U>:</div> <div> Debemos hallar la raíz positiva: se encuentra entre 1 y 2.</div> <div> <IMG SRC="202030cd0.gif" border=0 width="304" height="205" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="20211d2d0.gif" border=0 width="285" height="45" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="20222d980.gif" border=0 width="301" height="664" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="20230c180.gif" border=0 width="268" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="605" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 272 WIDTH="325"><div> <U>Solución</U>:</div> <div> Debemos hallar la raíz positiva: se encuentra entre 1 y 2.</div> <div> <IMG SRC="202430d30.gif" border=0 width="304" height="211" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="2025eef80.gif" border=0 width="238" height="248" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="20262dc80.gif" border=0 width="301" height="712" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="202781150.gif" border=0 width="129" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="630" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 519 WIDTH="317"><div> En la <FONT SIZE="3" COLOR="#CC9900" FACE="Times New Roman" >fig.1</FONT> se observan las gráficas de las dos funciones asi como la coordenada de la abscisa de su punto de intersección en el primer cuadrante. </div> <div> Para hallar la abscisa del punto de intersección basta con igualar las funciones, asi:</div> <div> <I>x</I> = cos<I>x</I>, entonces  cos<I>x</I> - <I>x</I> = 0</div> <div> La <FONT SIZE="3" COLOR="#CC9900" FACE="Times New Roman" >fig.2</FONT> muestra la gráfica de  <I>y</I> = cos<I>x</I> - <I>x</I></div> <div> Vamos a utilizar el método de Newton para hallar, con una aproximación de 4 cifras decimales, el cero de la función:</div> <div> <IMG SRC="20283c450.gif" border=0 width="316" height="325" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="202919c80.gif" border=0 width="281" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC9900" FACE="Times New Roman" >fig.1</FONT>)</div> <bR> <bR> <div> <IMG SRC="202afce30.gif" border=0 width="252" height="227" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC9900" FACE="Times New Roman" >fig.2</FONT>)</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="202b59d80.gif" border=0 width="601" height="472" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:4577786115" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>