Máximos y mínimos

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B>  </B>|   <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id307.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo diferencial"><U>Cálculo diferencial</U></A>  |</div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=432 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> Máximos y mínimos</div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>  </B><B> <A NAME="arriba"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>E</B></FONT>l hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es <I>la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado</I> es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de <I>x</I> (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje<I>x</I>. También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente...</div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="650" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 201 WIDTH="383"><div> <B>Valor máximo relativo: </B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > </FONT></div> <div> <IMG SRC="1eb2792d0.gif" border=0 width="377" height="45" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> En la figura de la derecha (fig.1) se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en <I>c</I>. Dicho valor es <I>d</I>  y ocurre en  c.</div> <div> <I>El valor máximo relativo de f en (a,b) es d</I>. </div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1eb3faaf0.gif" border=0 width="250" height="175" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  (fig.1)</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 201 WIDTH="383"><div> <B>Valor mínimo relativo:</B></div> <div> <B><IMG SRC="1eb4772d0.gif" border=0 width="375" height="45" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> En la figura de la derecha (fig.2) se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en <I>c</I>. Dicho valor es <I>d</I>  y ocurre en  c.</div> <div> <I>El valor mínimo relativo de f en (a,b) es d</I>. </div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1eb5faaf0.gif" border=0 width="250" height="175" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.2)</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" ><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f0ff990000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">S</FONT>i una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en <I>c</I>, se dice entonces que la función tiene un <B>extremo relativo</B> en <I>c</I>. </div> <div> <IMG SRC="1eb64f3d0.gif" border=0 width="591" height="61" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" ><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f0ff990000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">E</FONT>l teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la  <I>f</I>  en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al eje<I>x</I>.</div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="644" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 HEIGHT= 228 WIDTH="640"><div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Si  <I>f</I>  es diferenciable, los únicos posibles valores de <I>x</I> para los cuales  <I>f</I>  tiene un extremo relativo son aquellos en los que  <I>f</I> ' (<I>x</I>) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que  <I>f</I> ' (<I>x</I>) = 0, no hay  un extremo relativo allí. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situación. </div> <bR> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">También puede suceder que alguna función  <I>f </I> tenga un extremo relativo en un número dado y sinembargo no ser diferenciable en dicho número. La fig.4 ilustra este hecho.</div> <bR> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Por último, para ciertas funciones <I>f</I> (<I>c</I>) existe y  <I>f</I> '(<I>c</I>) no existe y sinembargo no hay un extremo relativo en <I>c</I>. En la fig.5 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.</div> <bR> <div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Conclusión:</B> si una función  <I>f</I>  está definida en un número <I>c</I>, una condición necesaria para que  <I>f</I>  tenga un extremo relativo en <I>c</I> es que  <I>f</I> '(<I>x</I>) = 0  o  <I>f </I>'(<I>c</I>) no exista; pero esta condición no es suficiente.</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 195 ><NOBR><div> <IMG SRC="1eb7c5a10.gif" border=0 width="197" height="161" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.3)</div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1eb8c19e0.gif" border=0 width="193" height="158" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.4)</div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1eb9c49e0.gif" border=0 width="196" height="158" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.5)</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="1eba54280.gif" border=0 width="596" height="40" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="675" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 201 ><NOBR><div> <IMG SRC="1ebb64b50.gif" border=0 width="356" height="181" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1ebc2caf0.gif" border=0 width="300" height="175" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.6)</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 39 WIDTH="667"><div> En la fig.6 se muestra la gráfica de una función en donde el valor mínimo absoluto ocurre en <I>a</I>, el valor máximo absoluto ocurre en <I>b</I>. En <I>e</I> la función tiene un valor máximo relativo, y en <I>d</I> un valor mínimo relativo.  </div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Cuando una función tiene un valor máximo o un valor mínimo absoluto en un intervalo, se dice que la función tiene un extremo absoluto en el intervalo.</div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 226 WIDTH="318"><div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Una función dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo.</div> <bR> <div> En la (fig.7) se puede observar que la función tiene un valor máximo absoluto en <I>c</I> (también es un valor máximo relativo), pero no tiene un valor mínimo absoluto.</div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1ebd13c80.gif" border=0 width="275" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>                   (fig.7)</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="1ebe51750.gif" border=0 width="593" height="117" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="1ebf604d0.gif" border=0 width="608" height="77" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="502" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" BGCOLOR=#FFCCB2 > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 133 WIDTH="496"><div> <B>Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [</B><I><B>a</B></I><B>, </B><I><B>b</B></I><B>]</B></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" ><B>1.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#FF6600" FACE="Times New Roman" ><B>  </B></FONT>Se obtienen los números críticos de la función en (<I>a</I>, <I>b</I>), y se calculan los      valores correspondientes de <I>f</I> para dichos números.</div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>2. </B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#FF6600" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Se hallan  <I>f</I> (<I>a</I>)  y  <I>f</I> (<I>b</I>)</div> <div> <B>3.</B><FONT SIZE="3" COLOR="#FF6600" FACE="Times New Roman" ><B>  </B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >El mayor de los valores encontrados en los pasos </FONT>1<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > y </FONT>2<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor mínimo absoluto.</FONT></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="675" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 77 WIDTH="663"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >3</FONT>, obtenga los números críticos de la función dada. En los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" >4</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >10</FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" > </FONT>halle los extremos absolutos de la función en el intervalo que se da, y calcule los valores de <I>f</I> (<I>x</I>) en los cuales ocurren los extremos absolutos. Trace la gráfica de la función en el intervalo. </div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 31 ><NOBR><div> <A HREF="#1" TITLE="Máximos y mínimos"><U><IMG SRC="1ec09b180.gif" border=0 width="155" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#2" TITLE="Máximos y mínimos"><U><IMG SRC="1ec1b5180.gif" border=0 width="181" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="219"><div> <A HREF="#3" TITLE="Máximos y mínimos"><U><IMG SRC="1ec288180.gif" border=0 width="136" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 28 ><NOBR><div> <A HREF="#4" TITLE="Máximos y mínimos"><U><IMG SRC="1ec3a0150.gif" border=0 width="160" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="219"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="28" ALIGN="bottom" WIDTH="219" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="219"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="28" ALIGN="bottom" WIDTH="219" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <B>S o l u c i o n e s </B></div> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="1ec49b180.gif" border=0 width="155" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="1ec58ed90.gif" border=0 width="398" height="217" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="1ec6b5180.gif" border=0 width="181" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="1ec796590.gif" border=0 width="406" height="345" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="1ec888180.gif" border=0 width="136" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="1ec955c90.gif" border=0 width="341" height="201" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="1ecaa0150.gif" border=0 width="160" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="648" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 307 ><NOBR><div> <IMG SRC="1ecb771f0.gif" border=0 width="375" height="287" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1eccfa2c0.gif" border=0 width="250" height="300" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:4577786115" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>