Teoremas de límites

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" ><B>   </B></FONT><B>  |   </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id293.htm" TARGET="_top" TITLE="Límites y continuidad"><U>Límites y continuidad</U></A>  |</div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = 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teoremas.</div> <div> Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.</div> <div> <I><U>Nota</U></I><I>: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.</I></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite1:</B></FONT></div> <div> Si  <I>k</I> es una constante y <I>a</I> un número cualquiera, entonces</div> <div> <IMG SRC="115b401d0.gif" border=0 width="64" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite2:</B></FONT></div> <div> Para cualquier número dado <I>a</I>,</div> <div> <IMG SRC="115c3f1d0.gif" border=0 width="63" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite3:</B></FONT></div> <div> Si <I>m</I> y <I>b</I> son dos constantes cualesquiera, entonces</div> <div> <IMG SRC="115d8d1d0.gif" border=0 width="141" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite4:</B></FONT></div> <div> <B><IMG SRC="115e2ba80.gif" border=0 width="299" height="168" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite5:</B></FONT></div> <div> <B><IMG SRC="115f66450.gif" border=0 width="358" height="69" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite6:</B></FONT></div> <div> Si  <I>f </I>es un polinomio y <I>a</I> es un número real, entonces</div> <div> <IMG SRC="11606c1d0.gif" border=0 width="108" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite7:</B></FONT></div> <div> Si <I>q</I> es una función racional y <I>a</I> pertenece al dominio de <I>q</I>, entonces</div> <div> <IMG SRC="1161671d0.gif" border=0 width="103" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_l_mite8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de límite8:</B></FONT></div> <div> <B><IMG SRC="116266450.gif" border=0 width="358" height="69" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="procedimiento_para_calcular_l_mites"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="606" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCCB2 HEIGHT= 210 WIDTH="602"><div> <B>Procedimiento para calcular límites</B></div> <div>      <FONT SIZE="3" COLOR="#0000CC" FACE="Times New Roman" ><B>S</B></FONT>i es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.</div> <div>      <FONT SIZE="3" COLOR="#0000CC" FACE="Times New Roman" ><B>C</B></FONT>uando al sustituir la <I>a</I> por <I>x</I> en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#33FFCC" BORDERCOLORDARK="#339900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#FFFFCC HEIGHT= 58 WIDTH="600"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <div> <B>          </B><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >valué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:</FONT></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 38 WIDTH="198"><div> <A HREF="#1__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="11633c1d0.gif" border=0 width="60" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#2__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="11645c1d0.gif" border=0 width="92" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#3__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="1165791f0.gif" border=0 width="121" height="31" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 51 WIDTH="198"><div> <A HREF="#4__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116657270.gif" border=0 width="87" height="39" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#5__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="11675f2c0.gif" border=0 width="95" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#6__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="11686f290.gif" border=0 width="111" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 50 WIDTH="198"><div> <A HREF="#7__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="1169832b0.gif" border=0 width="131" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#8__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116a5b290.gif" border=0 width="91" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#9__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116b7f2b0.gif" border=0 width="127" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 50 WIDTH="198"><div> <A HREF="#10__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116c752b0.gif" border=0 width="117" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#11_" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116db12b0.gif" border=0 width="177" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#12__" TITLE="Teoremas de límites"><U><IMG SRC="116e6b2b0.gif" border=0 width="107" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B>S o l u c i o n e s</B></div> <div>  <A NAME="1__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>1. </B></FONT>Solución</div> <div> <IMG SRC="116ffc2b0.gif" border=0 width="252" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="2__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>2. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="11700c510.gif" border=0 width="524" height="81" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="3__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>3. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="1171296b0.gif" border=0 width="297" height="107" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="4__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>4. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="117299930.gif" border=0 width="409" height="147" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="5__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>5. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="1173ea7f0.gif" border=0 width="490" height="127" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="6__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>6. </B></FONT>Solución:</div> <div> No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:</div> <div> <IMG SRC="1174285b0.gif" border=0 width="552" height="91" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="7__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>7. </B></FONT>Solución:</div> <div> No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):</div> <div> <IMG SRC="117500630.gif" border=0 width="512" height="99" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="8__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>8. </B></FONT>Solución:</div> <div> Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0;</div> <div> por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:</div> <div> <IMG SRC="117671630.gif" border=0 width="625" height="99" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="9__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>9. </B></FONT>Solución:</div> <div> No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:</div> <div> <IMG SRC="117713a00.gif" border=0 width="531" height="160" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="10__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>10. </B></FONT>Solución: </div> <div> Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7  y  TL8:</div> <div> <IMG SRC="117856af0.gif" border=0 width="598" height="175" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="11_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>11.</B></FONT> Solución:</div> <div> El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7  y  TL6:</div> <div> <IMG SRC="1179ed940.gif" border=0 width="493" height="148" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="12__"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>12. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="117acf940.gif" border=0 width="463" height="148" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:4577786115" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>